Borrata, Gianmarco (2025) Functional Regression Models For Distributional Data and Related Methods. [Tesi di dottorato]

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Abstract

Questa tesi fornisce un contributo metodologico e applicativo all’analisi dei dati distribuzionali, sviluppando nuovi strumenti e approcci per affrontare le sfide legate all’analisi delle distribuzioni. In particolare, viene introdotta la trasformazione LDQ (Logaritmo della Derivativa del Quantile), che consente di rappresentare le distribuzioni di probabilità in uno spazio di Hilbert, eliminando i vincoli tradizionalmente imposti nei modelli di regressione distribuzionale. Questo approccio permette di superare le limitazioni associate a parametri vincolati, come quelli non negativi, consentendo una migliore interpretazione delle relazioni tra le variabili. La trasformazione LDQ è stata applicata in diversi contesti. In primo luogo, è stata integrata in un modello di regressione funzionale, in cui la relazione tra distribuzioni è descritta tramite un coefficiente funzionale che varia nel dominio, catturando l’influenza dinamica delle variabili esplicative sulla forma e sulla variabilità delle distribuzioni di risposta. Sviluppando anche una versione robusta del modello. Successivamente, l’approccio è stato esteso a un modello di regressione funzionale clusterwise, capace di individuare gruppi omogenei di unità che condividono relazioni funzionali simili, migliorando così l’interpretabilità e la capacità predittiva. Inoltre, viene proposta un’estensione spaziale del modello, che consente di catturare dipendenze geografiche tra unità distribuzionali. Questo rende il metodo particolarmente adatto all’analisi di dati territoriali nelle statistiche ufficiali, dove la variabilità regionale e la disuguaglianza territoriale assumono un ruolo centrale. Viene proposto un modello di Clustering delle funzioni LDQ basato sulla distanza di Mahalanobis, sviluppato per raggruppare osservazioni distribuzionali in base sia alla forma che alla posizione delle distribuzioni. Combinando la trasformazione LDQ che cattura la variabilità interna e la struttura di dipendenza delle distribuzioni con il valore minimo della funzione quantile per preservare l’informazione di posizione, l’algoritmo fornisce una soluzione di clustering flessibile e interpretabile. Questo approccio consente di identificare gruppi omogenei di distribuzioni che differiscono sulla distribuzione complessiva, rivelandosi particolarmente utile per l’esplorazione di dati complessi. Un ultimo contributo riguarda l’applicazione della trasformazione LDQ all’Analisi Canonica Generalizzata (GCA), che consente di ridurre dimensionalmente le funzioni distribuzionali massimizzando la correlazione tra variabili. Mediante la trasformazione inversa, è possibile ricostruire la funzione quantile originale, garantendo così interpretabilità e coerenza con lo spazio dei dati di partenza. Le metodologie proposte sono validate attraverso applicazioni empiriche in ambito socioeconomico e ambientale, dimostrando la maggiore flessibilità, interpretabilità e robustezza dei modelli basati sulla LDQ. Complessivamente, la tesi offre nuovi strumenti analitici per le statistiche ufficiali, in grado di supportare politiche pubbliche fondate su dati distribuzionali e sull’analisi approfondita della variabilità e della disuguaglianza tra gruppi e territori.

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