Trotta, Salvatore (2016) Valutazione analitica del tensore di Eshelby per inclusioni poligonali e poliedrali. [Tesi di dottorato]

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Il tensore di Eshelby ed il modello di inclusione introdotti da John Douglas Eshelby nel 1957 hanno trovato innumerevoli applicazioni: nella meccanica della frattura dove l'inclusione è impiegata per modellare cricche e fessure; nella meccanica dei compositi, dove è impiegata per modellare gli elementi di rinforzo; nei problemi di contatto elasto-plastico dove è impiegata per modellare gli strati anelastici; in medicina per modellare tessuti tumorali; nella geomeccanica per modellare camere magmatiche dei vulcani, acquiferi, zone di faglia, etc. Si può affermare che il modello di inclusione viene impiegato ogni qualvolta sia presente una disomogeneità in un mezzo elastico. L'inclusione è un modello matematico il cui dominio coincide con il dominio della disomogeneità e possiede le stesse proprietà elastiche del mezzo. Inoltre all'interno dell'inclusione è presente una deformazione anelastica, che rappresenta l'interazione tra le proprietà elastiche del mezzo elastico e della disomogeneità, in ossequio al cosiddetto "Principio di Equivalenza di Eshelby". In definitiva il modello di inclusione consente di studiare il problema di un mezzo matrice contenente una disomogeneità elastica, considerando un mezzo elastico equivalente, caratterizzato dalle sole proprietà elastiche della matrice, nel quale la disomogeneità elastica viene sostituita da una opportuna autodeformazione il cui valore è valutato in funzione delle proprietà elastiche della matrice e della disomogeneità. In particolare il campo di deformazioni nel mezzo elastico equivalente è legato all'autodeformazione mediante il tensore di Eshelby, il quale ha un'espressione analitica espressa sotto forma di integrale esteso al dominio dell'inclusione. Nel suo lavoro del 1957 Eshelby, calcolò analiticamente il "tensore di Eshelby" per inclusioni ellissoidali. Questo risultato costituisce uno strumento estremamente duttile ed efficace, infatti cambiando opportunamente il rapporto tra gli assi dell'ellissoide, è possibile approssimare molte figure incontrate nelle applicazioni e ottenere l'espressione esatta del tensore, come nel caso della sfera, dell'ellisse, del cerchio, etc. Con l'obiettivo di estendere l'approccio di Eshelby a disomogeneità non ellissoidali sono stati sviluppati diversi modelli matematici, ciascuno basato su ipotesi e formulazioni diverse. Tuttavia, tranne casi sporadici, non è stato adeguatamente trattato, e men che mai risolto, il problema delle singolarità degli integrali. La ricerca condotta nell'ambito della tesi, ha riguardato lo sviluppo di formule analitiche per il calcolo del tensore di Eshelby nel caso di inclusioni poligonali e poliedrali. Inoltre è stato affrontato e risolto il problema delle singolarità degli integrali, sfruttando una opportuna applicazione della cosiddetta delta di Dirac. Le formule analitiche ottenute sono state implementate in Matlab e sono state validate confrontandole con risultati presenti in letteratura.

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