Chiapparelli, Concetta (2011) Metodi V_0-stabili per la risoluzione di equazioni integrali di Volterra di seconda specie. [Tesi di dottorato] (Inedito)

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Abstract

Negli ultimi anni la simulazione matematica per lo studio di fenomeni del mondo reale stà assumendo un ruolo sempre più importante per la descrizione e la comprensione dei fenomeni stessi. Molti problemi di evoluzione con memoria di interesse nelle scienze applicate, quali ad esempio dinamica delle popolazioni, diffusione di epidemie, reti neurali, cinetica di assorbimento, reazioni-diffusioni in piccole cellule, si modellizzano mediante equazioni integrali di Volterra (VIEs) di seconda. A causa della loro complessità, per la maggior parte di questi modelli è molto importante disporre di metodi numerici ad alte prestazioni che consentono di ottenere soluzioni accurate in un tempo ragionevole rispetto all'evoluzione del processo e che mantengono, per quanto è possibile, le proprietà qualitative della soluzione vera. Inoltre, proprio il loro carattere ereditario ne rende estremamente complicato sia lo studio teorico che i processi di risoluzione. Sebbene la conoscenza degli aspetti teorici delle VIEs si è notevolmente estesa e contemporaneamente sono stati sviluppati numerosi metodi numerici per la loro risoluzione, pochi sono i metodi ad oggi esistenti accurati ed altamente stabili. In particolare, visto lo stretto legame con la teoria relativa ai metodi numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs), i principali risultati presenti in letteratura relativi allo studio della stabilità numerica di metodi per VIEs riguardano in primo luogo la studio della A-stabilità, ovvero l'analisi dell'incondizionata stabilità rispetto all'equazione test base; resta invece solo parzialmente esplorato il campo della V_0-stabilità, ovvero dell'incondizionata stabilità numerica rispetto all'equazione test di convoluzione. Ciò è dovuto sostanzialmente al fatto che, per un metodo numerico per VIEs, la V_0-stabilità risulta essere una richiesta molto forte. Infatti fino ad oggi, solo pochi metodi V_0-stabili, al più di ordine due, sono presenti in letteratura. Obiettivo della tesi è determinare metodi numerici di ordine p maggiore di due V_0-stabili, i metodi in esame sono i metodi di tipo Runge-Kutta per la risoluzione numerica di equazioni integrali di Volterra di seconda specie ed in particolare la classe dei metodi di tipo Pouzet (PVRK) e di tipo Bel'tyukov (BVRK). La scelta di questa classe di metodi è stata fatta perchè pur essendo già note le proprietà teoriche di convergenza e di consistenza nessun risultato generale sull'esistenza di metodi VRK V_0-stabili è presente in letteratura. Infatti solo pochi metodi V_0-stabili di ordine al più due sono stati presentati in letteratura e tutti appartengono alla classe dei metodi di tipo Runge-Kutta Bel'tyukov. Le principali problematiche che si incontrano nella ricerca di metodi di ordine alto e incondizionatamente stabili rispetto all'equazione test di convoluzione riguardano principalmente la non facile “gestione” delle numerose equazioni non lineari che scaturiscono dall'imposizione delle condizioni d'ordine e l'individuazione di un criterio generale per la determinazione della V_0-stabilità all'interno di una famiglia di metodi. In particolare, vista la impossibilità di stabilire o negare l'esistenza di metodi V_0-stabili all'interno di una classe di metodi, dovuta alla dimensione delle matrici coinvolte ed al crescente numero di condizioni d'ordine non lineari per p > 2, abbiamo rilevato la necessità di ottenere informazioni sull'ampiezza delle regioni di stabilità dei metodi rispetto all'equazione test di convoluzione. Allo scopo di soddisfare tale esigenza e di avere la possibilità di determinare metodi aventi regioni di stabilità ampie ed illimitate, è stata introdotta in questa tesi la nuova definizione di V_0 (\alpha)-stabilità. Grazie al concetto di V_0(\alpha)-stabilità e all'adattamento alle VIEs della tecnica del Boundary Locus già esistente per le Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs) è stato progettato ed implementato un algoritmo basato su un nuovo metodo per la costruzione di metodi V_0(\alpha) e V_0-stabili. Tale metodo, basato sull'introduzione di una funzione per l'approssimazione dell'angolo \alpha di V_0(\alpha)-stabilità, e sull'utilizzo dell'algoritmo di ottimizzazione di Nelder-Mead, consente di determinare una lista di metodi “candidati” ad essere V_0-stabili. Successivamente, a ciascun elemento della lista viene applicato il criterio di Routh-Hurwitz per la verifica esatta della incondizionata stabilità del metodo. Abbiamo analizzando i metodi di tipo Runge-Kutta Pouzet e Bel'tyukov effettuando numerose prove con ordine minore o uguale di quattro con diversi valori degli stadi m e scegliendo differenti strutture di matrici, quasi diagonali o triangolari inferiori, al fine di ottenere metodi V_0-stabili di ordine maggiore di due e computazionalmente efficienti. Nel caso della sottoclasse dei metodi di tipo Pouzet non sono stati determinati metodi V_0-stabili a conferma di quanto congetturato da Brunner et al. ma sono stati determinati metodi V_0(\alpha)-stabili con angolo massimo \alpha=82,36° di ordine due. Nel caso della sottoclasse dei metodi di tipo Bel'tyukov sono stati determinati i primi esempi presenti in letteratura di metodi numerici V_0-stabili di ordine tre e quattro (rispettivamente su quattro e otto stadi) e metodi con angoli di V_0(\alpha)-stabilità prossimi a 90°. Al fine di verificare la convergenza e l'ordine dei nuovi metodi V_0-stabili determinati sono stati effettuati dei test numerici utilizzando problemi test lineari e non lineari presi in letteratura. Sviluppi futuri riguarderanno la determinazione di metodi VRK di ordine superiore a quattro, lo sviluppo di un software a passo variabile e la generalizzazione del metodo per la costruzione di altre classi di metodi.

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