Feo, Filomena (2006) Simmetrizzazione gaussiana ed equazioni ellittiche. [Tesi di dottorato] (Unpublished)

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Nella tesi ci si occupa di una classe di problemi di Dirichlet relativi ad equazioni ellittiche del secondo ordine, dove la condizione di ellitticità è data in termini della funzione densità nella misura di Gauss. L’obiettivo è quello di ottenere stime ottimali della soluzione, risultati di esistenza e regolarità. Una prima parte della tesi è dedicata ad una presentazione sistematica delle proprietà generali della misura di Gauss dei riordinamenti di funzione e della simmetrizzazione rispetto alla misura di Gauss. Per quanto riguarda la disuguaglianza isoperimetrica rispetto alla misura di Gauss si propongono approcci indipendenti tra loro, che fanno uso di nozioni differenti e seguono strade distinte nelle dimostrazioni. Si mette in evidenza il forte legame tra la disuguaglianza di Sobolev logaritmica, la disuguaglianza isoperimetrica ed il semigruppo di Ornstein-Ulenbeck. Si riportano, inoltre, le definizioni ed alcune proprietà degli spazi di Lorentz-Zygmund che vengono usati nel seguito della tesi. Nella seconda parte sono esposti risultati originali che riguardano una classe di equazioni ellittiche lineari e non. Le principali difficoltà nello studio dei problemi considerati sono dovute alla parte principale dell’operatore che può non essere uniformemente ellittico, al dominio che può non essere limitato ed alla presenza di termini d'ordine inferiore che può comportare una perdita di coercività. Si ottengono stime ottimali della soluzione del problema in considerazione mediante un confronto puntuale con la soluzione di un problema avente una struttura più semplice. L'idea è quella di sviluppare le tecniche ormai classiche introdotte da Talenti ed ampiamente utilizzate nel caso di problemi uniformemente ellittici, lineari e non, anche di tipo parabolico. Tali tecniche si basano sulla simmetrizzazione di Schwartz e la disuguaglianza isoperimetrica classica e nel caso di problemi uniformemente ellittici consentono di confrontare la soluzione del problema di partenza con la soluzione di un problema dello stesso tipo, ma definito in una sfera, in cui i dati sono a simmetria sferica. Nel caso studiato la struttura dell'operatore in esame suggerisce di usare la nozione di riordinamento rispetto alla misura di Gauss e la disuguaglianza isoperimetrica rispetto alla misura di Gauss. Si confronta la soluzione del problema in esame con la soluzione di un problema opportunamente “simmetrizzato”, vale a dire un problema dello stesso tipo definito in un semispazio i cui coefficienti sono funzioni di una sola variabile. La maggiore semplicità del problema “simmetrizzato” permette in alcuni casi di scrivere esplicitamente la soluzione e quindi di ottenere delle stime esplicite della soluzione del problema di partenza. A partire dalle stime ottenute con i risultati di confronto si studia come varia la sommabilità della soluzione negli spazi di Lorentz-Zygmund al variare dei termini noti nella stessa classe di spazi. Nel caso di problemi non lineari si ottengono, inoltre, condizioni che garantiscono l'esistenza della soluzione. Infatti, utilizzando le tecniche sopra descritte si determinano stime a priori della soluzione che consentono di passare al limite in opportuni problemi approssimanti.

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