Piscopo, Rossella (2006) Algebre di Killing ad orbite tridimensionali. [Tesi di dottorato] (Unpublished)

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Nel presente lavoro sono classificate le algebre di campi di Killing ad orbite tridimensionali. Considerata la varietà pseudo-riemanniana (M,g) di dimensione n, è noto che l'algebra di Killing ha dimensione finita. Si è scoperto che tale dimensione è ulteriormente limitata dalla dimensione delle orbite. L'algebra Gk campi di Killing ad orbite di dimensione r ha dimensione: r ≤ dimGk ≤(1/2)r(r+1) In questo lavoro, fissata la dimensione delle orbite a 3, sono state classificate le algebre di Killing ad orbite tridimensionali, quando il tensore metrico g degenera sulle orbite. Se il tensore metrico g si annulla, quando ristretto alle orbite dell'algebra, oltre alle strutture abeliane, per le algebre di dimensione 4 si è scoperta la seguente particolare struttura (Algebra di Rotondaro) I4 = {e1, e2, e3, e4 :[ei , e j]=0, i,j =1,2,3, [e4,ei]=e i , i=1,2,3> dove l'algebra derivata è l'unica sottoalgebra tridimensionale abeliana e in cui ogni sottospazio bidimensionale è una sottoalgebra. Nel caso in cui il tensore metrico ha rango 1 sulle orbite, la distribuzione ortogonale ha ulteriormente limitato la dimensione dell'algebra di Killing. Si è provato che la dimensione non può essere superiore a 4, se la distribuzione ortogonale non è integrabile e, in questo caso, le strutture trovate sono le stesse del caso precedente. Se, invece, la distribuzione ortogonale è integrabile, mediante identità polinomiali, sono state classificate, a meno di isomorfismi, cinque tipi di algebre di Killing di dimensione 4. Le algebre di dimensione 5 e 6 sono state classificate, in questo caso, grazie ad osservazioni geometriche e si è visto che queste sono somme semi-dirette di algebre tridimensionali note come so(2,1), con ideali bidimensionali e tridimensionali rispettivamente. Infine, quando il rango del tensore metrico è 2 sulle orbite, si è pervenuti ad una classificazione mediante la linearizzazione delle algebre isotrope. Il numero di strutture trovate è superiore a quello dei casi precedenti. Alcune delle strutture per le algebre di dimensione 4, si è visto, possono essere somma diretta delle algebre semisemplici tridimensionali con un ideale unidimensionale oppure somma semi-diretta dell'algebra delle isometrie infinitesimali del piano euclideo o di quello iperbolico-euclideo con un ideale unidimensionale. Per lo studio delle algebre di dimensione 5 e 6, oltre alla linearizzazione delle algebre isotrope, si è osservato che queste contengono una sottoalgebra di dimensione quattro e, quindi, si è fatto riferimento alla classificazione delle algebre di dimensione 4.

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